整数問題

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#数学   #高校数学   #大学入試

鈴木貫太郎
Komentarai  
  • もりくそ

    もりくそ

    Prieš 18 dienų

    自力で解けたのむっちゃ嬉しい笑1年前やったら絶対フェルマーの小定理とか思いつかんかった。

  • dada dada

    dada dada

    Prieš 28 dienų

    ずっと隠してたんだけど、俺さ、本当はさ、この動画めっちゃ好きなんだよね

    • 鈴木貫太郎

      鈴木貫太郎

      Prieš 28 dienų

      ありがとうございます😊

  • めっちゃわるい子

    めっちゃわるい子

    Prieš mėn

    15:28

  • tetu yoshida

    tetu yoshida

    Prieš mėn

    同値変形してるのか、充分条件を満たしてるか、がやたら気になって何度も見返しました。

  • Gary Guo

    Gary Guo

    Prieš mėn

    整数問題は結局まずは実験、そして①素因数分解②合同式(剰余系)③不等式で絞るのいずれかに帰結させられれば複雑な計算要らずかつ論理的思考を鍛えられるので大好きです!いい問題ありがとうございました!

  • たま

    たま

    Prieš mėn

    mod pとmod qに分解。pとqに大小関係を与えて議論を簡易化。
    ~~~~~~~~~~~~~~~
    題意のもとでは
     p=q ⇒ 2p^p+7≡0 (mod p^2) ⇒ 7≡0 (mod p^2) ⇒  「p^2≧4 が7の約数」で矛盾。

    従って、当座は 0

  • きゅー

    きゅー

    Prieš mėn

    京大感が強い

  • あに

    あに

    Prieš mėn

    こんなん受験でいらねー

  • 山本俊治

    山本俊治

    Prieš mėn

    難問、とされてたので端から諦めてました。
    (p,q)=(2,3),(3,2) は直感でわかりましたが、そこから先が・・・。
    フェルマーの小定理使って絞り込む発想は言われてみればですが。
    知識が必要なことはいうまでもありませんが、運用力が必要な問題だと思いました。
    やはり運用力を養うには地道に勉強するしかないのでしょうね。
    本日も勉強になりました。ありがとうございました。

  • かずまなぶ

    かずまなぶ

    Prieš mėn

    以下は動画と異なる部分のみの略解です。

    q

  • vacuumcarexpo

    vacuumcarexpo

    Prieš mėn

    ヨシッ❗
    論証が少し怪しいが、一応出来た。

    • vacuumcarexpo

      vacuumcarexpo

      Prieš mėn

      一応俺のダメなやり方も残しておこう。 p^q+q^p+7≡0(mod pq) pとqが対称なため、p≦qとしても一般性は失われない。 後で、q≦pの場合も含める。 フェルマーの小定理より、p^(q-1)≡1(mod q)なので、 p^q≡p(mod q)。 よって、p^q+q^p+7≡p+7(mod q)。 p=qまたは、pとqが互いに素なので、これが必要条件。 ここで、q>7とq≦7で場合分けする。 ①2≦p≦q,q>7の場合 9≦p+7

  • デオラウス

    デオラウス

    Prieš mėn

    本当に素晴らしいなぁ 知的な短編推理小説を読了した様な気持ちよさを感じます、これからもよろしくお願いします

    • 鈴木貫太郎

      鈴木貫太郎

      Prieš mėn

      ありがとうございます。

  • K T

    K T

    Prieš mėn

    結構難しかったです。動画より少し面倒になりましたが,別解で出来たのでコメントします。
    p≠qの証明は動画どおりなので省略。
    p = 2またはq = 2の場合は,動画のとおり、(2 , 3)のペアしかないことをフェルマーの小定理で示したとして
    それ以外について。
    フェルマーの小定理より
    p^q ≡ p (mod q)
    q^p ≡ q (mod p)
    ∴与式 ≡ q + 7 (mod p)
     与式 ≡ p + 7 (mod q)
    また,与式がpqで割り切れるためには
    p + 7 ≡ 0 (mod q)
    q + 7 ≡ 0 (mod p)
    でなければならないため,これらを自然数m,nを使って別表現すると
    p = mq - 7  ①
    q = np - 7 ②
    ①+②より
    (n - 1)p + (m -1)q = 14 ③
    ここで,n = 1の場合はpが,m = 1の場合はqが無限に大きくなる可能性があるが,その場合,①と②より
    p = q - 7  または q = p - 7
    であり,pとqの偶奇が不一致となる。しかしその場合は(2 , 3)の組のみと分かっているので,その場合を除外したら,
    m ≠ 1 かつn ≠ 1と考えてよい。
    すると,③に戻って,mもnも,ともに2以上と分かったので,素数pおよびqはともに11以下と分かる。
    以降はフェルマーの小定理を使って,p = 2,3,5,7,11をシラミツブシに調べれば,
    以下のとおり,(2 , 3)以外では(3 , 5)のみと分かる。
    上述のとおり,与式 ≡ q + 7 (mod p) を踏まえつつ
    (1)p = 3の場合
    与式 = 3^q + q^3 + 7 ≡ 10 (mod q)
    mod q で10≡0となるような素数qは2と5のみで,q = 2は既出で,q = 5の場合は
    与式 ≡ 5 + 7 ≡ 0(mod 3)
    なのでOK。
    (2)p = 5の場合
    与式 = 5^q + q^5 + 7 ≡ 12 (mod q)
    mod q で12≡0となるような素数qは2と3のみで,q = 2は上述より不適で,q = 3の場合は(1)の逆なのでOK。
    (3)p = 7の場合
    与式 = 7^q + q^7 + 7 ≡ 14 (mod q)
    mod q で14≡0となるような素数qは2と7のみで,q = 2は上述より不適で,q = 7の場合は動画で否定されたp = q = 7のケースなのでこれも不適。

    (4)p = 11の場合
    与式 = 11^q + q^11 + 7 ≡ 18 (mod q)
    mod q で18≡0となるような素数qは2と3のみで,p,qのうち,いずれかが2か3の場合は既出のケース以外ないことを上記で確認済みなので,ともに不適。
    以上より,2と3,3と5の2組のみが答えである。

    • K T

      K T

      Prieš mėn

      @COS COS さん まあ、実際むずかったです😅

    • COS COS

      COS COS

      Prieš mėn

      Nice! ただKTさんから”難しい”というWORD 聞いいたのはじめてじゃないかな😊

    • K T

      K T

      Prieš mėn

      訂正 【誤】p = 2,3,5,7,11をシラミツブシに調べれば 【正】p = 3,5,7,11をシラミツブシに調べれば

  • Raba -

    Raba -

    Prieš mėn

    素数が絡む問題は何か神秘の領域に踏み込む感じがして楽しい

  • Kaz Privici

    Kaz Privici

    Prieš mėn

    後半の別アプローチ p,qとも奇数のパート
    mod p mod q 別々に考えると p+7=0 mod q だが、p qは奇数だからp+7≧2q 同様にして q+7≧2p
    ここからp,q≦7、対称性とp≠qから3,5 5,7 3,7の場合だけ考えると、3,5(よって5,3も)だけが条件に適している。

  • smb2019 spoon-me-baby

    smb2019 spoon-me-baby

    Prieš mėn

    皆さん凄いなぁ。
    これは、相当な難問ですよ( ;´・ω・`)。
    フェルマーの小定理を与えていたとしても、十分に難関大でも出せますよ。
    (1)で小定理を証明させといて、この問題が(2)というのが理想ですね。

    • Jeffery Anakin

      Jeffery Anakin

      Prieš 3 val

      @Avery Kabir I watch on Flixzone. Just search on google for it =)

    • Avery Kabir

      Avery Kabir

      Prieš 4 val

      i realize Im kinda off topic but does anybody know of a good website to stream newly released series online ?

  • 衛門の鑑。

    衛門の鑑。

    Prieš mėn

    やはり個人的思うのは整数問題において他の受験生と差をつけるなら積の形、余りを理解したうえで、不等式評価を鍛えるべきですよね。

  • 衛門の鑑。

    衛門の鑑。

    Prieš mėn

    感動で泣きました

    • 鈴木貫太郎

      鈴木貫太郎

      Prieš mėn

      ありがとうございます

  • pc3taro

    pc3taro

    Prieš mėn

    週明けと言うこともあり、きょうは事前から詰まっていた予定が夕方前までございましたので、
    この時間での動画視聴となり、私のチャンネルの概要欄にございます先に答案PDFをアップしました。
    動画の p+q+7≧pq であるという事実ですが、これは自明そうに見えるも、決して自明だとはいえないため、何らかの証明をしないとまずい(議論のgapがある)ように思いましたので、Fermatの小定理を適用するも、動画のような流れと同じ手法はとりませんでした。

    • 麻美あずさ

      麻美あずさ

      Prieš mėn

      動画内では不等式が自明と言いたいわけではなく、pqで割り切るためにはその不等式が成り立つのが必要条件であると言いたいんだと思います。 なので動画の通りの説明で合っていると思われます。

    • COS COS

      COS COS

      Prieš mėn

      難問でした

  • 仮浪は眠れない

    仮浪は眠れない

    Prieš mėn

    京大理系で出そうな問題ですね

  • とまとまと

    とまとまと

    Prieš mėn

    面白そうな問題や!
    最後の絞りが出来なかったー

    • とまとまと

      とまとまと

      Prieš mėn

      modpqをpとqに分けてしまって止まった

  • Masahiko K.

    Masahiko K.

    Prieš mėn

    本日も楽しく拝見いたしました。感謝いたします。これは面白い問題ですね。かなり楽しめました。でもこれを限られた時間でとくなんて受験生は本当に大変ですね。このような問題は色々応用も考えれらますね。楽しい問題をありがとうございました。

  • ironia006

    ironia006

    Prieš mėn

    答えは見つけたんだけども、それ以外がダメだということを示せず。
    5以上の素数の6n±1形を使うのかとも思ったが全く違ってた

  • chihiro

    chihiro

    Prieš mėn

    フェルマーの小定理を背景に合同式、式変形、範囲の絞り込みと整数問題のエッセンスが凝縮された良問難問でした

  • fansu li

    fansu li

    Prieš mėn

    if p=q,p²|2p^p+7,⇒p²|7,no solution
    so p≠q,set 2≤p

  • 村山はじめ

    村山はじめ

    Prieš mėn

    これと似た問題を入試本番で解いた覚えがあります

  • いちご大福

    いちご大福

    Prieš mėn

    フェルマーの小定理を使うことは思いつきませんでしたが、mod qpと言われたのでマヨネーズを思い出しました

  • 堕天使ヨハネ

    堕天使ヨハネ

    Prieš mėn

    BB素材と化した整数問題

  • uchi

    uchi

    Prieš mėn

    フェルマーの小定理使えば簡単なところまでは思いついたが、フェルマーの小定理を証明するのをどうやればよいか忘れてしまって焦った。

  • けいてぃー

    けいてぃー

    Prieš mėn

    京大の問題は解が(2,3)と(2,5)だったけど
    この問題でそういった抜け道を探すのは難しそう

    • 鉢かづき

      鉢かづき

      Prieš mėn

      (p,q)=(2,5) だと p^q+q^p が、"例の素数" になるのでは?

  • spina SMM

    spina SMM

    Prieš mėn

    パッと見で対称性あるからvieta jumpingだ!と思ったけど、指数不明なので無理でしたね。でも頭の中で解けました。

  • とど

    とど

    Prieš mėn

    ①p≧q≧2
    ②p+q+7≡0(mod pq)
    ③q+7≡0(mod p)
    ④(p-1)(q-1)≦8
    p≧11 → ④(p-1)(q-1)≧10 ✕
    p=7 → ③q+7≡0(mod 7) → q=7 → ④✕
    p=5 → ③q+7≡0(mod 5)→ q=3 → ②5+3+7≡0(mod 15) ○
    p=3 → ③q+7≡0(mod 3)→ q=2 → ②3+2+7≡0(mod 6) ○
    p=q=2 → ③q+7≡0(mod 2) ✕

  • Hiroyuki Matsumoto

    Hiroyuki Matsumoto

    Prieš mėn

    3,2のペアだけ見つけれました。合同式使って。
    フェアリーの小定理ってこうゆう風に応用できるんですね。
    引き出しが増えた気がします。

    • Hiroyuki Matsumoto

      Hiroyuki Matsumoto

      Prieš mėn

      フェアリーではなく、フェルマー…誤記

  • いしかわだいさく

    いしかわだいさく

    Prieš mėn

    よおおおおおし
    久々にとけた!

  • プテラ

    プテラ

    Prieš mėn

    p>qのとき、p,qは互いに素なのでpqで割り切れることと、pとqで割り切れることは同値だから、pで割った余りとqで割った余りを考えると、p^q+q^p+7≡q+7(mod p), p^q+q^p+7≡p+7(mod q)なので自然数k,lを用いてp+7=kq, q+7=lpと表せる。
    ここで、p>q≥2よりq+7=lp>lqなので7>(l-1)q≥2(l-1)。したがってl=1,2,3。
    l=1のときq+7=pよりq+14=kq, (k-1)q=14なのでq=2,7。このときp=9,14となるので不適。
    l=2のときq+7=2pよりq+21=2kq, (2k-1)q=21なのでq=3,7。q=3とするとp=5。q=7とするとp=7となり不適。したがって(p,q)=(5,3)。
    l=3のときq+7=3pよりq+28=3kq, (3k-1)q=28なのでq=2,7。q=2とするとp=3。q=7は不適。したがって(p,q)=(3,2)。
    以上により(p,q)=(2,3),(3,2),(3,5),(5,3)
    みたいな感じでもできますね。

  • nino Mae

    nino Mae

    Prieš mėn

    京大の例の問題を思い出しますが、
    フェルマーの小定理や不等式による絞り込みなど、7がつくだけでこんなに解法変わるんだなあと思いました笑
    これはなかなか手応えのある問題ですね...

  • ORX-005

    ORX-005

    Prieš mėn

    フェルマーの小定理を使うとP乗とQ乗が上手く消えてくれる
    とても面白いですね

  • xyz

    xyz

    Prieš mėn

    おはようございます。
    今朝は動画が始まってすぐに再生をとめました。
    ゴールデンウィーク前から整数問題を集中して解いています。旺文社の分野別標準問題精講は2周目に入り、偶然企画されてた PASSLABO の4時間レクチャーも2回見ました。
    これだけの経験値で解けそうな問題ではなさそうですが、何日でも何週間でも気が済むまで考えに考えてみたいと思います。
    『精講』1周して気づいたこと:
    ①「すべて求めよ」というタイプの問題で、解の絞り込みが甘いときがある。最後になって不適として弾かれるので答えは合うが、答案バカっぽさ丸出し。
    ②解答の適切な書き方がわからないことがある。特に代数をつかっての不等式の取り扱い。この辺は基本からやり直す必要あり。
    ③課題は多いけど、ヘボでもそれなりに楽しめるのが数学だ。
    頑張ります。

    • xyz

      xyz

      Prieš mėn

      解・け・た! 論証すべきことは何なのかはわかっていたので、午前中仕事の合間に「どの武器で戦うか」考えて、これまでの講義の流れからフェルマーの小定理にたどり着きました。先生の性格からヤマを張った感じですが…。 ただ mod pq ではなく他の方のコメントにもあるように p+7=kq, q+7=lp として、連立方程式として解きました。(最初の私のコメント通り、こういうときの大小関係からの絞り込みができてない。) この方法で p=q=7 という解が出てきてギョギョっとしましたが、「あ、同じ数は互いに素じゃないもんな」と気づいて終了。ヒィ。

  • Math Teacher Nho

    Math Teacher Nho

    Prieš mėn

    算数の講義はとても活発でした。 どうもありがとうございました。

  • o i

    o i

    Prieš mėn

    これって大学入試の問題ですか?

  • K K

    K K

    Prieš mėn

    いい問題だなぁ

  • 井上成美

    井上成美

    Prieš mėn

    おはようござます。一桁の素数を代入してみて、解答はでるんですが、こんな様にフェルマーの小定理を使うんですね、勉強になりました。明日もよろしくお願いします。

  • R

    R

    Prieš mėn

    おはようございます☀️

  • 美しい高校数学

    美しい高校数学

    Prieš mėn

    フェルマーの小定理の利用
    →合同式で次数下げ
    →不等式で絞り込み
    (互いに素の素数乗が出てきた時)
    頭に入れておきます

  • 【進研模試全国1位】ギフテッドのみ

    【進研模試全国1位】ギフテッドのみ

    Prieš mėn

    骨のある問題でした…笑

  • vacuumcarexpo

    vacuumcarexpo

    Prieš mėn

    ちょっとヤバい❗
    すぐには出来ん。もう少し考える。

    • vacuumcarexpo

      vacuumcarexpo

      Prieš mėn

      @あいうえお ご返信ありがとうございます。 あくまでも「個人の感想」ですのでお気になさらずに(笑)。

    • vacuumcarexpo

      vacuumcarexpo

      Prieš mėn

      @COS COS コメント欄に簡単だとか書いてる人もいますが、難しいですよね。大変でした(笑)。

    • COS COS

      COS COS

      Prieš mėn

      今日は手強いですよ

  • 鉢かづき

    鉢かづき

    Prieš mėn

    おはようございます。
    貫太郎先生のおっしゃった京大の問題の解も、この問題の題意を満たすのですね。
    さらに実験してみるとp=2,q=5 のとき、p^q+q^p が例の "素数" となり題意を満たさず、
    p=3,q=5 のときは題意を満たしますが、そこから先の手を思いつきませんでした。
    (p=q の場合については失念しておりました。)

  • 中村吉郎

    中村吉郎

    Prieš mėn

    おはようございます。流れるような明快な解説に感謝申し上げます。GWも終了しました。数学を学ばれていらっしゃる方々の、さらなる飛躍を祈っています。
     私もマイペースで学んで行きます。貫太郎先生ありがとうございました。
     64歳の元数学教師の端くれより

  • ゆー

    ゆー

    Prieš mėn

    今回の難しいなあ

  • みな

    みな

    Prieš mėn

    おはようございます☀
    おしゃれな服ですね😚
    フェルマの小定理の証明、まだ難しく感じました💦